椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为453，求此椭圆的方程．

Question

椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为(4√(5))/(3)，求此椭圆的方程．

Answer 1

∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，
∴4c²=（a+c）（a-c），
解得a²=5c²，
∴b²=4c²，
由

4x2+5y2＝m

2x−y−4＝0

，
消去y，得24x²-80x+80-m=0，
设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2＝(80)/(24)＝(10)/(3)，x1•x2＝(80−m)/(24)，k=2，
由弦长公式l=√(1+k2)|x1−x2|=√(5)•√((100)/(9)−(80−m)/(6))=√(5)•

作业帮用户 2016-12-16 举报

问题解析

由椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，知4c²=（a+c）（a-c），解得b²=4c²，由

4x2+5y2＝m

2x−y−4＝0

，得24x²-80x+80-m=0，由弦长公式得(4√(5))/(3)＝√(5)×√((3m−40)/(18))，由此能求出椭圆的方程．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

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