已知椭圆中心在坐标原点,长轴在X轴,短轴等于6,长轴长是焦距的2倍.设直线Ax+By=1与椭圆相交于不同的两点PQ,求满足向量OP垂直向量OQ的实数A与B的关系式

Question

已知椭圆中心在坐标原点,长轴在X轴,短轴等于6,长轴长是焦距的2倍.
设直线Ax+By=1与椭圆相交于不同的两点PQ,求满足向量OP垂直向量OQ的实数A与B的关系式

Answer 1

说说思路
椭圆中心在坐标原点,长轴在X轴,短轴等于6,长轴长是焦距的2倍,则有
b=6,a=2c,利用a²=b²+c²可以求出a=4倍根号下3,则求出椭圆方程为：
x²/48+y²/36=1
设P点为（x1,y1）,Q为（x2,y2）
而Ax+By=1化为y=（1-Ax）/B,即P点（x1,（1-Ax1）/B）,Q点为（x2,（1-Ax2）/B）
因为向量OP和OQ垂直,则OP和OQ的斜率乘积=-1,即k1*k2=-1
即（1-Ax1）/Bx1*（1-Ax2）/Bx2=-1即（1+B²）x1*x2-A（x1+x2）+1=0.（1）
再将直线方程带入椭圆方程,得出：
（3B²+A²）x²-8Ax+4-144B²=0,利用韦达公式x1+x2=-b/a和x1*x2=c/a带入上面（1）式即可得出A和B的关系式