已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为23，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线l与椭圆C交于两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2√(3)，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线l与椭圆C交于两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

＝t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

（I）因为所求椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，焦距为2c＝2√(3)，
所以c＝√(3)．
设过焦点且垂直于长轴的直线为x=c．
因为过焦点且垂直于长轴的直线l被椭圆截得的弦长为1，
代入椭圆方程解得：y＝±(b2)/(a)，即(b2)/(a)＝(1)/(2)．
由

c＝√(3)

a2＝b2+c2

(b2)/(a)＝(1)/(2)

，解得

作业帮用户 2016-11-28 举报

问题解析

（Ⅰ）求出半焦距，可得过焦点且垂直于长轴的直线方程，代入椭圆方程，利用过焦点且垂直于长轴的直线l被椭圆截得的弦长为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

OA

+

OB

＝t

OP

，P为椭圆上一点，即可求实数t的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．

考点点评：

本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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