若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为．

Question

若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为______．

Answer 1

设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距 (√(3))/(6)a，R₁²=(1)/(12)a2，
故正三棱柱的高为 (2√(3))/(3)a，
当正三棱柱外接球时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，R22=((√(3))/(3)a)2+((√(3))/(3)a)2=(2)/(3)a2，
∴内切球与外接球表面积之比为(1)/(12)a2：(2)/(3)a2=1：8．
故答案为：8：1