如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．

Question

如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF

AB=CD

∠BAM=∠DCN

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2） 四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形．
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴AM∥CN，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．