关于x的方程sin²x+2sinxcosx-2cos²x-m=0有解求实数m的取值范围

Question

关于x的方程sin²x+2sinxcosx-2cos²x-m=0有解求实数m的取值范围

Answer 1

解由x的方程sin²x+2sinxcosx-2cos²x-m=0有解
即x的方程sin²x+2sinxcosx-2cos²x=m有解
即m=sin²x+2sinxcosx-2cos²x有解
即m是关于x的函数
由m=sin²x+2sinxcosx-2cos²x
=sin²x+cos²x+2sinxcosx-3cos²x
=1+sin2x-3cos²x
=1+sin2x-3/2(1+cos2x)
=-3/2cos2x+sin2x-1/2
=√[1^2+(3/2)^2](1/√[1^2+(3/2)^2]sin2x+(-3/2)/√[1^2+(3/2)^2]cos2x)-1/2
=√13/2sin(2x+θ)-1/2
即由-√13/2≤√13/2sin(2x+θ)≤√13/2
得-√13/2-1/2≤√13/2sin(2x+θ)-1/2≤√13/2-1/2
知-√13/2-1/2≤m≤√13/2-1/2
故m的范围是[-√13/2-1/2,√13/2-1/2].