等腰三角形ABC中,AB=AC,点P在直线BC上运动,并且PD垂直AB与点D,PE垂直AC与点E,CF垂直AB于点F.请在以下不同图形中讨论线段PD,PE,CF之间存在什么数量关系?证明你的观点.在讨论过程中,你发现什么规律

Question

等腰三角形ABC中,AB=AC,点P在直线BC上运动,并且PD垂直AB与点D,PE垂直AC与点E,CF垂直AB于点F.请在以下不同图形中讨论线段PD,PE,CF之间存在什么数量关系?证明你的观点.在讨论过程中,你发现什么规律,能用一句话概括出来吗?

Answer 1

（1）证明：连接AP．
∵AB=AC,
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=12AB×PD+12AC×PE=12×AB×（PD+PE）,
∵S△ABC=12AB×CF,
∴PD+PE=CF．
CF+PE=PD．
P点在BC的延长线上,过P做AB⊥PD,过C作AB⊥CF,过P作PE⊥AC,交AC的延长线于E点,连接AP
∵AB=AC,
∴S△APB=S△ABC+S△ACP=12AB×CF+12AC×PE=12×AB×（CF+PE）,
∵S△APB=12AB×PD,
∴CF+PE=PD．