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如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,BC=2AD,对角线AC与BD相交于点P,过点P作PE∥BC交AB于点E.(1)求证:四边形EBCP是等腰梯形.(2)若直角梯形ABCD的面积为72,AB=10,求△ADC的周长.
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如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,BC=2AD,对角线AC与BD相交于点P,过点P作PE∥BC交AB于点E.
(1)求证:四边形EBCP是等腰梯形.
(2)若直角梯形ABCD的面积为72,AB=10,求△ADC的周长.
(1)求证:四边形EBCP是等腰梯形.
(2)若直角梯形ABCD的面积为72,AB=10,求△ADC的周长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过A作AM⊥BC,垂足为M,
∵AD∥BC,∠DCB=90°,
∴四边形AMCD是矩形,
∵BC=2AD,
∴AD=MC=BM,
∴AM是线段BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
又∵EP∥BC,
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE,
∴AE=AP,
∴EB=PC,
∵直线BE、PC相交于点A,
∴EB不平行于PC,
∴四边形EBCP是等腰梯形.
(2)设AD=x,DC=y,
由(1)得:AB=AC=10,
又∵∠DCB=90°,
∴x2+y2=102①,
又∵S梯形ABCD=72,
∴
(x+2x)•y=72,
即xy=48②,
由①、②得:(x+y)2-2xy=100,
∴(x+y)2=196,
即x+y=14,x+y=-14(不合题意舍去),
∴△ADC的周长为:x+y+AC=14+10=24.
∵AD∥BC,∠DCB=90°,
∴四边形AMCD是矩形,
∵BC=2AD,
∴AD=MC=BM,
∴AM是线段BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
又∵EP∥BC,
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE,
∴AE=AP,
∴EB=PC,
∵直线BE、PC相交于点A,
∴EB不平行于PC,
∴四边形EBCP是等腰梯形.
(2)设AD=x,DC=y,
由(1)得:AB=AC=10,
又∵∠DCB=90°,
∴x2+y2=102①,
又∵S梯形ABCD=72,
∴
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即xy=48②,
由①、②得:(x+y)2-2xy=100,
∴(x+y)2=196,
即x+y=14,x+y=-14(不合题意舍去),
∴△ADC的周长为:x+y+AC=14+10=24.
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