在△ABC中,可由下列方法求内切圆半径：0.5r=S△ABC\L周长,由此可以猜测出三棱锥A-BCD中内切球的半径公式

Question

在△ABC中,可由下列方法求内切圆半径：0.5r=S△ABC\L周长,由此可以猜测出三棱锥A-BCD中内切球的半径公式

Answer 1

在△ABC中,令内切圆圆心为O,则
S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
=AB*r/2+AC*r/2+BC*r/2
=L*r/2,L为周长
所以0.5r=S△ABC\L
同理 令球心为O,
V三棱锥A-BCD=V三棱锥O-BCD+V三棱锥O-ACD+V三棱锥O-ABC+V三棱锥O-ABD
=S△DBC*r/3+S△ACD*r/3+S△ABC*r/3+S△ABD*r/3
=P*r/3,P为三棱锥表面积
所以r/3=V三棱锥A-BCD/P表面积