已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b属于R都满足f(ab)=af(b)+bf(a),判断f(x)的奇偶性急,谢谢~

Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b属于R都满足f(ab)=af(b)+bf(a),判断f(x)的奇偶性
急,谢谢~

Answer 1

令a=b=1,则 ab=1
所以f(1)=1*f(1)+1*f(1)=2*f(1)
所以f(1)=0
令a=b=-1,则ab=1
所以f(1)=(-1)*f(-1)+(-1)*f(-1)=-2*f(-1)
所以f(-1)=f(1)/(-2)=0
b=-1时,对于任意的a,f(-a)=af(-1)-f(a),即f(-a)=-f(a)
所以f(x)是奇函数