如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴

Question

如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴

Answer 1

如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC．CD是⊙O'的切线,AD丄CD于点D,tan∠CAD=12,抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形?若存在,直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在,请说明理（1）CD是⊙O'的切线,AD丄CD于点D,AB 是⊙O'的直径,所以：∠CAD=∠CAB
（2）①tan∠CAD=1/2,所以tan∠CAB=1/2,tan∠OCB=1/2,则有OA=2OC,OC=2OB,又因为OA+OB=10,解得OA=8,OB=2,OC=4,所以A、B、C三点的坐标分别为（-8,0）、（2,0）、（0,4）,代入抛物线的解析式y=ax^2+bx+c,求得a=-1/4,b=-3/2,c=4,抛物线的解析式为y=-x^2/4-3x/2+4.
②抛物线的解析式为y=-x2/4-3x/2+4可化为.y=(-1/4)(x+3)^2/+25/4,所以抛物线的顶点坐标为（-3,25/4）,根据（1）的结果可证明三角形ACD与三角形ACO全等,CD=OC=4,AD=AO=8,
设D（x,y）,则有(8-x)^2+y^2=64且x^2+(y-4)^2=16,解得x=-16/5,y=32/5.因此CD的解析式可求得为y=-3x/4+4,把x=-3代入,求得y=25/4,所以抛物线的顶点E在直线CD上.
（3）点P的坐标为（-10,-6）或(10,-36)