△ABC,BC=17,CA=18,AB=19.过△ABC内的点P向△ABC的三条边分别作垂线PD,PE,PF,BD+CE+AF=27.求BD+BF

Question

△ABC,BC=17,CA=18,AB=19.过△ABC内的点P向△ABC的三条边分别作垂线PD,PE,PF,BD+CE+AF=27.求BD+BF

Answer 1

根据题意,有
BD^2+PD^2=BF^2+PF^2; (1)
(AB-BF)^2+PF^2=(AC-CE)^2+PE^2; (2)
CE^2+PE^2=(BC-BD)^2+PD^2; (3)
将BC=17,CA=18,AB=19,代入,解三式,保留BD,CE,BF项,得：
34BD+36CE-38BF=17^2+18^2-19^2=252,即17BD+18CE-19BF=126; (3)
已知,BD+CE+AF=27=BD+CE+(19-BF),即BD+CE-BF=8;（4）
解（3）（4）得：BD+BF=18；