如图,平行四边形ABCD,E、F是AB、CD中点,AF、DE交于点G,CE、BF交于点H.四边形GEHF是平行四边形,问：在什么情况下,四边形EHFG是菱形?

Question

如图,平行四边形ABCD,E、F是AB、CD中点,AF、DE交于点G,CE、BF交于点H.四边形GEHF是平行四边形,问：在什么情况下,四边形EHFG是菱形?

Answer 1

由平行四边形ABCD知,AB//CD,AB=CD,又E、F分别是AB、CD中点,所以AE=BE=AB/2,DF=CF=CD/2,
AE//CF,AE=CF,BE//DF,BE=DF,
所以,四边形AECF、四边形EBFD均为平行四边形,所以,ED//BF,EC//AF,即EG//HF,EH//GF,所以四边形GEHF是平行四边形.
要使四边形EHFG是菱形,则须EG=EH=GF=HF.
连接EF,因为E、F分别是AB、CD中点,AB//CD,AB=CD,
AE//FD,BE//CF,AE/=FD,BE=CF,
所以四边形AEFD、四边形EBCF均为平行四边形,
所以H、G分别是EC、BF及ED、BF中点,
所以要使四边形EHFG是菱形,则须DE=AF=EC=BF,
即要使四边形EHFG是菱形,则须平行四边形ABFD、平行四边形EBCFJ均为矩形,
即要使四边形EHFG是菱形,则须平行四边形AEFD、平行四边形EBCFJ均为矩形,
即要使四边形EHFG是菱形,则须平行四边形ABCD为矩形.