等价无穷小的证明当x接近于0,如何求tanx-sinx～（1/2）x*x 和 x-sinx～（1/6）x*x

Question

等价无穷小的证明
当x接近于0,如何求tanx-sinx～（1/2）x*x 和 x-sinx～（1/6）x*x

Answer 1

1、原式=(sinx/cosx)-sinx
=[sinx(1-cosx)]/cosx]
={sinx*2[sin(x/2)]^2}/cosx
当x趋于零时,在乘积的情况下,
有sinx~x, cosx~1, sin(x/2)~(x/2)
所以其主部为(x^3)/2
即tanx-sinx～(x^3)/2
2、因为x-sinx为奇函数,只考虑x趋于+0的情形
当x属于(0,∏/2)
有 x-sinx≤tgx-sinx~(x^3)/2
x-sinx≥2sin(x/2)-sinx
=2sin(x/2)*[1-cos(x/2)]
=4sin(x/2)[sin(x/4)]^2~(x^3)/8
即x-sinx～k(x^3)
即lim(x-sinx)/[k*(x^3)]
用洛必达法则知,当x趋于零时,
lim(x-sinx)/[k*(x^3)]=lim(1-cosx)/[3k*(x^2)]
=limsinx/6kx
=lim(1/6k)=1
所以k=1/6
所以x-sinx~(x^3)/6