已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB PC中点,若MN=BC=4已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB PC中点.(1)求证：MN‖平面PAD(2)若MN=BC=4,PA=4√3,求异面直线PA与MN所成的角的大

Question

已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB PC中点,若MN=BC=4
已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB PC中点.
(1)求证：MN‖平面PAD
(2)若MN=BC=4,PA=4√3,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
如图.

Answer 1

如你的图,在PDC平面做NO平行于DC,则NO也平行于AM
也能推出NO等于1/2DC=1/2AB=AM,所以AMNO为平行四边形
所以之需求OA和PA的夹角.
因为NO=1/2DC,相似三角形可推出O为PD中点（证明很简单）
所以问题变成：
在三角形PAD中O为PD中点,PA=4√3,AD=BC=4,AO=4,求PAO大小
由中线长度公式,OA=(1/2)√(2PA^2+2DA^2-PD^2),所以带入可得PD=8,PO=OD=4.
至此,PAO三角形三边已定（4,4,4√3）,从O做PA的垂线,可得直角三角形,非常容易算出cosPAO=2√3/4,PAO=30°