已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点（1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值（2） 证明当x＞0且x≠1时,f(x)＞ lnx/x-1

Question

已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点（1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值
（2） 证明当x＞0且x≠1时,f(x)＞ lnx/x-1

Answer 1

(1)
切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f(x)=alnx/(x+1)+b/x,
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (*)
f(1)=b=1
代入(*)得 a=1
∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x
(2)
由（1）知f（x）=lnx／(x+1)+1／x
所以f(x)-lnx／(x-1)
= lnx／(x+1)+1／x-lnx／(x-1)
=-2 lnx／﹙x²-1﹚+1／x
=[1／(1-x²)]*[(2lnx-﹙x²-1﹚／x)]
令h(x)=2lnx-﹙x²-1﹚／x(x＞0),
h′(x)=2/x-[2x²－(x²-1)]／x²=-(x-1)²／x²
所以当x≠1时,h′（x）＜0,所以函数单调递减,而h（1）=0,
当x∈（0,1）时,h（x）＞h（1）=0
此时1／(1-x²)>0,
可得1／﹙1-x²﹚*h(x)＞0；
x∈(1,+∞)时,h(x)＜h（1）=0,
此时1／(1-x²)