早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
题目详情
已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值
(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
▼优质解答
答案和解析
(1)
切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f(x)=alnx/(x+1)+b/x,
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (*)
f(1)=b=1
代入(*)得 a=1
∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x
(2)
由(1)知f(x)=lnx/(x+1)+1/x
所以f(x)-lnx/(x-1)
= lnx/(x+1)+1/x-lnx/(x-1)
=-2 lnx/﹙x²-1﹚+1/x
=[1/(1-x²)]*[(2lnx-﹙x²-1﹚/x)]
令h(x)=2lnx-﹙x²-1﹚/x(x>0),
h′(x)=2/x-[2x²-(x²-1)]/x²=-(x-1)²/x²
所以当x≠1时,h′(x)<0,所以函数单调递减,而h(1)=0,
当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0
此时1/(1-x²)>0,
可得1/﹙1-x²﹚*h(x)>0;
x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,
此时1/(1-x²)
切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f(x)=alnx/(x+1)+b/x,
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (*)
f(1)=b=1
代入(*)得 a=1
∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x
(2)
由(1)知f(x)=lnx/(x+1)+1/x
所以f(x)-lnx/(x-1)
= lnx/(x+1)+1/x-lnx/(x-1)
=-2 lnx/﹙x²-1﹚+1/x
=[1/(1-x²)]*[(2lnx-﹙x²-1﹚/x)]
令h(x)=2lnx-﹙x²-1﹚/x(x>0),
h′(x)=2/x-[2x²-(x²-1)]/x²=-(x-1)²/x²
所以当x≠1时,h′(x)<0,所以函数单调递减,而h(1)=0,
当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0
此时1/(1-x²)>0,
可得1/﹙1-x²﹚*h(x)>0;
x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,
此时1/(1-x²)
看了 已知函数f(x)=alnx/...的网友还看了以下:
抽象函数的性质:f(x+2)=1/f(x)为何可推出f(x+4)=f(x)1/f(x+2)为啥等于 2020-04-26 …
概率论一个问题设X使一个连续型非负随机变量,F(X)为其分布函数,定义F'(X)=1-F(X)为其 2020-05-20 …
1.f(x)为奇函数在(0,正无穷)为减函数且f(x)0,求k的取值范围3.f(x)是定义在[-1 2020-05-20 …
已知函数f(x)对一切实数x.y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)证:(1),f(x)为奇函数 2020-06-09 …
1.f(x)为二次多项式,且f(2004)=1,f(2005)=2,f(2006)=7,则f(20 2020-06-12 …
国庆高等数学函数,极限概念疑问9,夹逼准则其中,请仔细读我的疑问,不要一两句的应付回答,9、有个定 2020-07-31 …
f(x)增函数则1/f(x)为减函数为啥要跟区间有关...不取零不行么比如说f(x)=x增函数f( 2020-08-01 …
怎样证明f(x+a)=-f(x),f(x+b)=1/f(x)为周期函数为什么f(x+T)=f(x) 2020-08-02 …
1.f(x)为正比例函数,且f(-2)=-1.求f(x)等于多少?2.f(x)=2x+3,g(x+ 2020-08-03 …
已知函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上都有意义,且在此区间上满足已知函数f(x)与g(x)在区 2020-12-08 …