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已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1

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已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值
(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
▼优质解答
答案和解析
(1)
切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f(x)=alnx/(x+1)+b/x,
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (*)
f(1)=b=1
代入(*)得 a=1
∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x
(2)
由(1)知f(x)=lnx/(x+1)+1/x
所以f(x)-lnx/(x-1)
= lnx/(x+1)+1/x-lnx/(x-1)
=-2 lnx/﹙x²-1﹚+1/x
=[1/(1-x²)]*[(2lnx-﹙x²-1﹚/x)]
令h(x)=2lnx-﹙x²-1﹚/x(x>0),
h′(x)=2/x-[2x²-(x²-1)]/x²=-(x-1)²/x²
所以当x≠1时,h′(x)<0,所以函数单调递减,而h(1)=0,
当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0
此时1/(1-x²)>0,
可得1/﹙1-x²﹚*h(x)>0;
x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,
此时1/(1-x²)