1.用综合法证明:设a＞0,b＞0且a＋b=1,则（a＋1／a）²＋（b＋1／b）²≥25／2.

Question

1.用综合法证明:设a＞0,b＞0且a＋b=1,则（a＋1／a）²＋（b＋1／b）²≥25／2.

Answer 1

(a+1/a)²+(b+1/b)²
=a²+2+1/a²+b²+2+1/b²
=(a²+b²)+(1/a²+1/b²)+4
a²+b²>=2ab
所以2(a²+b²)>=a²+2ab+b²
a²+b²>=(a+b)²/2
同理,1/a²+1/b²>=(1/a+1/b)²/2=(a+b)²/2a²b²
a+b=1
所以左边>=1/2+1/2a²b²+4
1=a+b>=2√ab
√ab<=1/2
ab<=1/4
a²b²<=1/16
2a²b²<=1/8
1/2a²b²>=8
1/2+1/2a²b²+4>=25/2
所以(a+1/a)²+(b+1/b)²>=25/2