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在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知,且b=2,c=3,O为△ABC的外心,则=.
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在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知 ,且b=2,c=3,O为△ABC的外心,则 = .
▼优质解答
答案和解析
【答案】 分析: 利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,使其等于已知的面积,把b和c的值代入求出sinA的值,由三角形ABC为锐角三角形,利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数,进而求出cos∠BAC的值,由O为三角形的外心,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,由∠BAC的度数求出∠BOC的度数,由b,c及cos∠BAC的值,利用余弦定理求出a的值,设三角形的外接圆半径为r,由a,sinA,利用正弦定理求出r的值,即为|OB|与|OC|的长,最后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子,把各种的值代入即可求出值.
∵S △ABC = = ,b=2,c=3,
∴sin∠BAC= ,又△ABC为锐角三角形,
∴∠BAC=60°,cos∠BAC= ,
∵O为△ABC的外心,
∴∠BOC=2∠BAC=120°,
∵b=2,c=3,cos∠BAC= ,
∴根据余弦定理得:a 2 =b 2 +c 2 -2bc•cos∠BAC=4+9-6=7,
解得:a= ,
由正弦定理可得:2r= = ,∴r= ,
则 • =|OB|•|OC|cos∠BOC= • •cos120°=- .
故答案为:-
点评: 此题考查了三角形的面积公式,圆周角定理,正弦定理,以及平面向量的数量积运算法则,熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键.
∵S △ABC = = ,b=2,c=3,
∴sin∠BAC= ,又△ABC为锐角三角形,
∴∠BAC=60°,cos∠BAC= ,
∵O为△ABC的外心,
∴∠BOC=2∠BAC=120°,
∵b=2,c=3,cos∠BAC= ,
∴根据余弦定理得:a 2 =b 2 +c 2 -2bc•cos∠BAC=4+9-6=7,
解得:a= ,
由正弦定理可得:2r= = ,∴r= ,
则 • =|OB|•|OC|cos∠BOC= • •cos120°=- .
故答案为:-
点评: 此题考查了三角形的面积公式,圆周角定理,正弦定理,以及平面向量的数量积运算法则,熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键.
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