若a+b+c=0,则a³+b³+c³=3abc,这个怎么来的?还有a³+b³+c³=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)怎么来的?并能说下这是什么吗?

Question

若a+b+c=0,则a³+b³+c³=3abc,这个怎么来的?还有a³+b³+c³=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)怎么来的?并能说下这是什么吗?

Answer 1

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
所以a+b+c=0
则a³+b³+c³=3abc