如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,AD//BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕为EF.若AD=2,BC=3,求BE的长

Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,AD//BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕为EF.若AD=2,BC=3,求BE的长

Answer 1

连接AC,过点D作DH∥AC,设BD交EF于G
∵等腰梯形ABCD,AB＝CD
∴∠ABC＝∠DCB
∵BC＝BC
∴△ABC全等于△DCB
∴∠ACB＝∠DBC
∵∠DBC＝45
∴∠ACB＝45
∵DH∥AC
∴∠H＝45
∴∠H+∠DBC＝45+45＝90
∴∠BDH＝90
∵AD∥BC
∴平行四边形ACFD
∴CF＝AD
∵AD＝2,BC＝3
∴BH＝BC+CH＝BC+AD＝3+2＝5
∴BD＝BH×cos∠DBC＝5×cos45＝5×√2/2＝5√2/2
∵B沿EF翻折到D
∴EF垂直平分BD
∴BG＝BD/2＝5√2/4
∴BE＝BG/ cos∠DBC＝（5√2/4）/cos45＝（5√2/4）/（√2/2）＝5/2
或：
连接AC,过点D作DH∥AC,设BD交EF于G
∵等腰梯形ABCD,AB＝CD
∴∠ABC＝∠DCB
∵BC＝BC
∴△ABC全等于△DCB
∴∠ACB＝∠DBC
∵∠DBC＝45
∴∠ACB＝45
∵DH∥AC
∴∠H＝45
∴∠H+∠DBC＝45+45＝90
∴∠BDF＝90
∵AD∥BC
∴平行四边形ACFD
∴CH＝AD
∵AD＝2,BC＝3
∴BH＝BC+CH＝BC+AD＝3+2＝5
∵B沿EF翻折到D
∴EF垂直平分BD
∴BG＝BD/2,EF∥DH
∴BE/BH＝BG/BD＝1/2
∴BE＝BH/2＝5/2