如图,在正方形ABCD中,点P是CD上一动点（与点C、D不重合）,使三角尺的直角顶点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究：1、观察操作结果,那

Question

如图,在正方形ABCD中,点P是CD上一动点（与点C、D不重合）,使三角尺的直角顶点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究：
1、观察操作结果,那一个三角形与△BPC相似?为什么?
2、当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BPC的周长比是多少?
（所给的图就是：一个正方形从左上角逆时针方向,四个顶点依次是A、B、C、D）

Answer 1

分两种情况：

①如图（1）,

∵∠BPE=90°,

∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°,

∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°,

∴△BPC∽△PED．

如图（2）,同理可证△BPC∽△BEP．

②如图（1）,

∵△BPC∽△PED,

∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比,即PD与AC的比,

∵点P位于CD的中点,

∴PD与AC的比为1：2,

∴△PED与△BPC的周长比1：2,

△PED与△BPC的面积比1：4．

如图（2）,

∵△BPC∽△BEP,

∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比,即BP与BC的比,

设BC=2k,则PC=k,BP=根号五 k,

∴BP与BC的比为根号五 ：2,

△BEP与△BPC的周长比为根号五 ：2,△BEP与△BPC的面积比为5：4．