已知数列{an},a1=1,a2k=a(2k-1)+（-1)^k,a(2k+1)=a2k+3^k,k=1,2,3……,求{an}的通项公式

Question

已知数列{an},a1=1,a2k=a(2k-1)+（-1)^k,a(2k+1)=a2k+3^k,k=1,2,3……,求{an}的通项公式

Answer 1

a1=1
a2=1+(-1)^1
a3=1+(-1)^1+3^1
a4=1+(-1)^1+3^1+(-1)^2
a5=1+(-1)^1+3^1+(-1)^2+3^2 .
不妨设an=bn+cn
bn=1+(-1)^1+.
cn=3^1+3^2+.
则bn=(1+(-1)^n)/2 (只取0,1)
cn=3+3^2+.(共n为偶数n/2-1项,或n为奇数n/2-1/2项) =3*(1-3^(n/2-1+(1-(-1)^n)/4))/(1-3) =(3^(n/2+(1-(-1)^n)/4)-3)/2
所以an=bn+cn =(1+(-1)^n)/2+(3^(n/2+(1-(-1)^n)/4)-3)/2