正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是面对角线BC1上一动点,Q是底面ABCD上一动点,则D1P＋PQ的最小值等于?请给出适当过程

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正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是面对角线BC1上一动点,Q是底面ABCD上一动点,则D1P＋PQ的最小值等于?
请给出适当过程

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答案和解析

设C1P为 x 则D1P为  （1+ x^2）的开根号；
       由于P 必在BC1上,所以PQ最小应该有PQ垂直面ABCD
                      即Q在BC上 PQ平行BB1；
      得： PQ= {2的开根号 - x}*cos45°,
    D1P+PQ = (1+x^2)开根号  +  1  -  二分之根号二x ；
            求这个值关于x 求导数令导数= 0
     在1到根号2 之间取得   x=1  时有唯一最值!

      令x=1 代入 D1P+PQ 得： 1+二分之根号2.
        最小值为：1+二分之根号2

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