一道初中题、、、50分、、急当x=2时,抛物线y=ax²+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交与点C（0,3)与x轴交与点A,B.D是线段BC的中点,E为线段BC上一动点(B、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与

Question

一道初中题、、、50分、、急
当x=2时,抛物线y=ax²+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交与点C（0,3)与x轴交与点A,B.D是线段BC的中点,E为线段BC上一动点(B、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F,
(1）求该抛物线的关系式；
(2）是否存在这样的点E,使是S△CEF：S△DEF=1:2,若存在请求出点E的坐标,若不存在请说明理由
(3)△DEF能否与△BOC相似,若相似,请求出此时点E的坐标,若不相似,请说明理由
(4）当直线EF经过抛物线的顶点时,在直线EF上是否存在这样的点P使得lPB-PCl的值最大

Answer 1

（1）由题意可设抛物线的关系式为
y=a（x-2）2-1
因为点C（0,3）在抛物线上
所以3=a（0-2）2-1,即a=1
所以,
抛物线的关系式为y=（x-2）2-1=x2-4x+3．
（2）∵点M（x,y1）,N（x+1,y2）都在该抛物线上
∴y1-y2=（x2-4x+3）-[（x+1）2-4（x+1）+3]=3-2x
当3-2x＞0,即x＜ 32时,y1＞y2
当3-2x=0,即x= 32时,y1=y2
当3-2x＜0,即x＞ 32时,y1＜y2
（3）令y=0,即x2-4x+3=0,
得点A（3,0）,B（1,0）,线段AC的中点为D（ 32,32）
直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△OAC是等腰直角三角形,
所以,要使△DEF与△OAC相似,△DEF也必须是等腰直角三角形．
由于EF‖OC,因此∠DEF=45°,
所以,在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．
①当F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△ACO,DF所在直线为 y=32
由x2-4x+3= 32,解得x= 4-102,x= 4+102＞3（舍去）
将 x=4-102代入y=-x+3,
得点E（ 4-102,2+102）
②当D为直角顶点时,DF⊥AC,此时△DEF∽△OAC,由于点D为线段AC的中点,
因此,DF所在直线过原点O,其关系式为y=x．
解x2-4x+3=x,得 x=5-132,x=5+132＞3（舍去）
将 x=5-132代入y=-x+3,
得点E（ 5-132,1+132）．