如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别为AB,PB的中点（1）求证：EF⊥CD(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论（3）求DB与平面DEF所成角的余弦值

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别为AB,PB的中点
（1）求证：EF⊥CD
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论
（3）求DB与平面DEF所成角的余弦值

Answer 1

（1）CD⊥ADP ∴CD⊥AP EF∥＝AP/2﹙中位线﹚ ∴EF⊥CD
⑵ 设PD＝1 取坐标系D﹙000﹚ A﹙100﹚ C﹙010﹚ P﹙001﹚ 设G﹙a,0,b﹚∈PAD
则F﹙1/2,1/2,1/2﹚GF＝﹛1/2-a,1/2,1/2-b﹜ 平面PCB法向量n＝﹛0,1,1﹜
GF⊥平面PCB,←→GF∥n←→0/﹙1/2-a﹚＝1/﹙1/2,﹚＝1/﹙1/2-b﹚←→a＝1/2,b＝0
即G是AD中点时,GF⊥平面PCB
⑶ 平面DEF法向量n1＝﹛0,1,-1﹜ DB＝﹛1,1,0﹜ cos＜n1,DB＞＝n1•DB/﹙|n1||DB|﹚＝1/2
DB与平面DEF所成角的余弦值＝sin＜n1,DB＞＝√3/2