正方体abcd-a1b1c1d1中f为棱bc中点,求直线df与平面a1b1cd所成角的正弦值

Question

正方体abcd-a1b1c1d1中f为棱bc中点,求直线df与平面a1b1cd所成角的正弦值

Answer 1

连结B1C,在平面BCC1B1上作FE⊥B1C,垂足E.连结DE,
∵A1B1⊥平面BCC1B1,
EF∈平面BCC1B1,
∴A1B1⊥EF,
∵A1B1∩B1C=B1,
∴EF⊥平面A1B1CD,
∴〈FDE是直线FD和平面A1B1CD所成角,
∵〈FEC=〈B1BC=90°,
〈FCE=〈B1CB,（公用角）,
∴RT△FEC∽RT△B1BC,
∴EF/BB1=CF/B1C,
设正方体棱长为1,
CF=1/2,B1C=√2,
BB1=1,
EF=√2/4,
根据勾股定理.
DF^2=FC^2+CD^2,
DF=√5/2,
sin