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正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证AC1垂直平面A1BD
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证AC1垂直平面A1BD
▼优质解答
答案和解析
证明：
连接AC交BD于M,连接A1M交AC1于N
则 BD⊥AC,
∵ C1C⊥底面 ∴C1C⊥BD
∴BD⊥平面ACC1
则 BD⊥AC1
∵tan∠C1AC=C1C/AC=1/√2=√2/2
tan∠MA1A=AM/AA1=AC/2 / AA1=√2/2
∴∠C1AC=∠MA1A
∠MA1A+∠NAA1=∠C1AC+90°-∠C1AC=90°
∴AM⊥AC1
∴AC1⊥平面A1BD
连接AC交BD于M,连接A1M交AC1于N
则 BD⊥AC,
∵ C1C⊥底面 ∴C1C⊥BD
∴BD⊥平面ACC1
则 BD⊥AC1
∵tan∠C1AC=C1C/AC=1/√2=√2/2
tan∠MA1A=AM/AA1=AC/2 / AA1=√2/2
∴∠C1AC=∠MA1A
∠MA1A+∠NAA1=∠C1AC+90°-∠C1AC=90°
∴AM⊥AC1
∴AC1⊥平面A1BD
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