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当n=1,2,.,2006时,则所有二次函数y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1的图像与X轴所截得的线段长度之和为?
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当n=1,2,.,2006时,则所有二次函数y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1的图像与X轴所截得的线段长度之和为?
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答案和解析
首先引入一个公式.
二次函数y=ax^2+bx+c在x轴上截出的距离=√(b^2-4ac)/│a│即d=√△/│a│
简证:在函数y=ax^2+bx+c中,令y=0,解得x1=(-b+√△)/2a,x2=(-b-√△)/2a,│x1-x2│=√△/│a│,故结论得证.
(Ps:推广这个引理,还可以得到一个更为有用的定理,二次函数y=ax^2+bx+c在平行于x轴的直线y=m上截出的距离=√(△+4am)/│a│,证明略)
得出这个引理以后呢,这题就简单了.先不考虑n的值.二次函数y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1的图像与X轴所截得的线段长度据上式=√△/│a│
此函数中,△=[-(2n+1)]^2-4(n^2+n)=4n^2+1+4n-4n^2-4n=1
又n始终大于0,故该函数在x轴上截得的距离=1/(n^2+n)
下面带入n的值,当n=1,2,.,2006时,所有二次函数的图像与X轴所截得的线段长度之和=1/(1^2+1)+1/(2^2+2)+1/(3^2+3)+……+1/(2006^2+2006)
又n^2+n=n(n+1)
所以,线段长度和=1/(1×2)+1/(2×3)+……+1/(2006×2007)
又1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)(Ps:这个公式很重要啊,虽然简单,但是不容易想起来,好多题特别是奥数中经常用到)
所以,线段长度和=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2006-1/2007
化简,=1-1/2007=2006/2007
综上,最终答案为2006/2007
二次函数y=ax^2+bx+c在x轴上截出的距离=√(b^2-4ac)/│a│即d=√△/│a│
简证:在函数y=ax^2+bx+c中,令y=0,解得x1=(-b+√△)/2a,x2=(-b-√△)/2a,│x1-x2│=√△/│a│,故结论得证.
(Ps:推广这个引理,还可以得到一个更为有用的定理,二次函数y=ax^2+bx+c在平行于x轴的直线y=m上截出的距离=√(△+4am)/│a│,证明略)
得出这个引理以后呢,这题就简单了.先不考虑n的值.二次函数y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1的图像与X轴所截得的线段长度据上式=√△/│a│
此函数中,△=[-(2n+1)]^2-4(n^2+n)=4n^2+1+4n-4n^2-4n=1
又n始终大于0,故该函数在x轴上截得的距离=1/(n^2+n)
下面带入n的值,当n=1,2,.,2006时,所有二次函数的图像与X轴所截得的线段长度之和=1/(1^2+1)+1/(2^2+2)+1/(3^2+3)+……+1/(2006^2+2006)
又n^2+n=n(n+1)
所以,线段长度和=1/(1×2)+1/(2×3)+……+1/(2006×2007)
又1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)(Ps:这个公式很重要啊,虽然简单,但是不容易想起来,好多题特别是奥数中经常用到)
所以,线段长度和=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2006-1/2007
化简,=1-1/2007=2006/2007
综上,最终答案为2006/2007
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