如图,抛物线y=-x^2+bx+c与x轴,y轴分别相交与A（-1,0）,B（0,3）两点,其顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E,求四边形ABDE的面积；（3）三角形AOB与三角形BDE是否相

Question

如图,抛物线y=-x^2+bx+c与x轴,y轴分别相交与A（-1,0）,B（0,3）两点,其顶点为D
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E,求四边形ABDE的面积；
（3）三角形AOB与三角形BDE是否相似?如果相似,请予证明；如果不相似,请说明理由.

Answer 1

将A（-1,0）,B（0,3）坐标代入y=-x^2+bx+c：
0 = -1-b+c,3=0+0+c
解得：b=2,c=3
抛物线的解析式：y = -x^2+2x+3
令y=0,-x^2+2x+3=0,(x+1)(x-3)=0,与x轴另一交点E（3,0）
y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4,顶点D（1,4）
做DF⊥轴于F
四边形ABDE的面积 = S△ABO+SBDFO+S△DEF
= 1/2|xA|*|yB| + 1/2*(|yB|+|yD|)*|xD| + 1/2|yD|*|xE-xD|
= 1/2|-1|*|3| + 1/2*(|3|+|4|)*|1| + 1/2|4|*|3-1|
= 1/2*1*3 + 1/2*7*1 + 1/2*4*2
= 9
OA=1,OB=3,AB=√(1^2+3^2)=√10
BD=√[(1-0)^2+(4-3)^2]=√2,BE=√[(3-0)1^2+(0-3)^2]=3,DE=√[(3-1)1^2+(0-4)^2]=2√5
三边对应不成比例,不相似