如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．

Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．

（Ⅰ）求∠P的大小；
（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．

Answer 1

（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，
∴∠BAP=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠CAP=90°-∠BAC=60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA=PC，
∴△PAC为等边三角形，
∴∠P=60°．
（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
∵cos∠BAC=(AC)/(AB)，
∴AC=AB•cos∠BAC=2cos30°=√(3)．
∵△PAC为等边三角形，
∴PA=AC，
∴PA=√(3)．