因式分解（1+x+x2+x3)2-x3

Question

因式分解（1+x+x2+x3)2-x3

Answer 1

(1+x+x^2+x^3)^2-x^3
设y=1+x+x^2,则(x^3-1)=(x-1)*(1+x+x^2)=(x-1)*y,
原式=(y+x^3)^2-x^3=y^2-2*y*x^3+x^6-x^3
=y^2-y*2*x^3+x^3*(x^3-1)（对y降幂排列,合并同类项）
=y^2-y*2*x^3+x^3*(x-1)*y
=y*(y-2*x^3+x^3*(x-1))
=(1+x+x^2)*(1+x+x^2+x^3+x^4).
或者根据(x^3-1)=(x-1)*(1+x+x^2)知,(1+x+x^2)=(x^3-1)/(x-1),
原式=[(x^3-1)/(x-1)+x^3]^2-x^3
=[(x^3-1)+(x-1)*x^3]^2/(x-1)^2-x^3
=[(x^3-1)+x^4-x^3]^2/(x-1)^2-x^3
=(x^4-1)^2/(x-1)^2-x^3
=[(x^4-1)^2-(x-1)^2*x^3]/(x-1)^2
=[(x^8-2*x^4+1)-(x^2-2x+1)*x^3]/(x-1)^2
=[x^8-x^5-x^3+1]/(x-1)^2
=(x^5-1)(x^3-1)/(x-1)^2
=(1+x+x^2)*(1+x+x^2+x^3+x^4)
（x^5-1=(x-1)*(1+x+x^2+x^3+x^4),(x^3-1)=(x-1)*(1+x+x^2)）
在有理数范围内只能分解到这里.
如果要在实数范围内,可以使用待定系数法分解1+x+x^2+x^3+x^4.分两种情况讨论：分别设1+x+x^2+x^3+x^4=(x^2+a1*x+1)*(x^2+a2*x+1)或1+x+x^2+x^3+x^4=(x^2+a1*x-1)*(x^2+a2*x-1)（其中有一种情况误解）解出a1、a2.