若双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的任一弦的斜率记为K1,该重点与原点连线斜率为K2,正K1K2为定值

Question

若双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的任一弦的斜率记为K1,该重点与原点连线斜率为K2,正K1K2为定值

Answer 1

设弦交双曲线于A、B两点,A（x1,y1）B(x2,y2),
则AB中点为（（x1+x2）/2,（y1+y2）/2）,
因为k1存在,所以x1不等于x2,
所以k1=(y2-y1)/(x2-x1),k2=(y2+y1)/(x2+x1),
k1k2=(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2) (1).
又A、B为双曲线上的点,
所以A、B满足双曲线方程,得
y1^2=(b^2*x1^2-a^2*b^2)/a^2 (2)
y2^2=(b^2*x2^2-a^2*b^2)/a^2 (3)
(2)(3)两式代入（1）得
k1k2=[(b^2*x2^2-a^2*b^2)-(b^2*x1^2-a^2*b^2)]/[a^2(x2^2-x1^2)]
=[b^2(x2^2-x1^2)]/[a^2(x2^2-x1^2)]
=b^2/a^2为定值
所以命题得证,K1K2为定值.