已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在X轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2,且|M1M2|=三分之四倍根号十.求椭圆

Question

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在X轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2,且|M1M2|=三分之四倍根号十.求椭圆的方程
什么叫做“几何平均数”？

Answer 1

a,b的几何平均数就是√ab (√ 是根号的意思）
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）
当点M在椭圆长轴两个顶点时,|MF|分别有最大值a+c和最小值a-c
所以（a+c)*(a-c)=4 即a^2=c^2+4,则b^2=4
设点M1(x1,y1),则M2(y1,x1),将这两点坐标代入椭圆方程得：
x1^2/a^2+y1^2/4=1和y1^2/a^2+x1^2/4=1
两式相减得：(x1^2-y1^2)(1/a^2-1/4)=0,则x1^2-y1^2=0,即x1=-y1
|M1M2|=√ (x1-y1)^2+(y1-x1)^2=√ 2(x1-y1)^2=4√10/3,计算得：(x1-y1)^2=80/9
将x1=-y1代入上式,得x1=-2√5/3,y1=2√5/3代入椭圆方程得：1/a^2+1/4=9/20
所以a^2=5
椭圆方程为x^2/5+y^2/4=1
（a^2表示a的平方,1/a^2表示a的平方分之一）