已知椭圆C1 的中心为原点,离心率e=根号2/2其中一个交点在抛物线C2:y^2＝2px的准线上,若抛物线与直线l:x-y+根号2＝0相切1.求该椭圆的标准方程

Question

已知椭圆C1 的中心为原点,离心率e=根号2/2
其中一个交点在抛物线C2:y^2＝2px的准线上,若抛物线与直线l:x-y+根号2＝0相切
1.求该椭圆的标准方程

Answer 1

c/a =√2/2 得 a²=2b²
椭圆交点在抛物线C2:y^2＝2px的准线上说明 焦点在x轴上
设椭圆方程 x²/(2b²) +y²/b² =1 即x²+2y²=2b²
联立椭圆方程和直线x-y+√2=0 有：3y²-2√2y+2-2b² =0 因为相切 所以此方程只有一个解 判别式△=8-12（2-2b²）=0 解得 b²=2/3 a²=2b²=4/3
椭圆标准方程是 3x²/4 + 3y²/2 =1