已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=√2/2,右准线方程为x=2 1.求椭圆的标准方程2.过点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点,且|向量F2M+向量F2N|=2√（26）/3,求直线l的方程

Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=√2/2,右准线方程为x=2 1.求椭圆的标准方程
2.过点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点,且|向量F2M+向量F2N|=2√（26）/3,求直线l的方程

Answer 1

1、离心率 e=√2/2=c/a,右准线方程 x=a²/c=2；解得：a=√2,c=1,∴b=1；
椭圆标准方程：x²/2+y²=1；
2、左焦点F1(-1,0),右焦点F1(1,0),设直线l的方程为：y=k(x+1),代入椭圆方程 x²/2+k²(x+1)²=1；
设MN的中点是P,由上列方程可得P点坐标x=-(2k²)/(1+2k²),y=k/(1+2k²)；
按向量运算法则,向量F2M+向量F2N=2*向量F2P,∴[√(26)/3]²=[1+(2k²)/(1+2k²)]²+[k/(1+2k²)]²；
化简得 40(k²)²-23k²-17=0,解得 k²=1；
∴直线l的方程为：y=±1(x+1)；