椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.设过点F的直线l交椭圆于A,B两点.若直线l绕点F任意转动,恒有｜OA｜^2+｜OB｜^2

Question

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.设过点F的直线l交椭圆于A,B两点.若直线l绕点F任意转动,恒有｜OA｜^2+｜OB｜^2

Answer 1

根据题意,b^2=a^2-1 …… (1)
可设过F（1,0）的直线为y=k(x-1),k为任意实数,直线与椭圆交点为（x1,y1)、（x2,y2).将直线方程与椭圆方程联立求解可得方程：
（b^2+a^2*k^2)x^2-2a^2*k^2*x+a^2*k^2-a^2*b^2=0
故有：x1*x2=(a^2*k^2-a^2*b^2)/(b^2+a^2*k^2) ……（2）
x1+x2=2a^2*k^2/(b^2+a^2*k^2) ……（3）
y1*y2=k^2*(x1-1)(x2-1)=k^2*x1*x2-k^2(x1+x2)+k^2 ……（4）
又：|OA|^2+|OB|^2=0 所以：1-a^2