三角形ABC的三个顶点都在抛物线Y²=2PX(P＞0),点A重合在坐标原点,抛物线焦点F恰好是三角形ABC的垂心,求该三角形的外接圆方程.（写出过程,

Question

三角形ABC的三个顶点都在抛物线Y²=2PX(P＞0),点A重合在坐标原点,抛物线焦点F恰好是三角形ABC的垂心,求该三角形的外接圆方程.（写出过程,

Answer 1

由抛物线方程知,焦点F在X轴上,且坐标为F（P/2,0)
因为F为△ABC的垂心,A点在原点,所以AF⊥BC
△ABC为以BC为底的等腰三角形,B、C关于x轴对称,不妨设B点在X轴上方,设它们的横坐标为m,则它们的坐标分别为：B(m,√(2Pm)),C(m,-√(2Pm)).
∵AB⊥CF ∴[√(2Pm)/m]*[√(2Pm)/(P/2-m)]=-1
解得m=5/2P,B、C坐标分别为B(5/2P,√5*P),C(5/2P,-√5*P)
设外接圆圆心坐标为（r,0),则：
（5/2P-r)^2+(√5*P)^2=r^2
r=9/4P
所以外接圆方程为
（x-9/4P)^2+y^2=(9/4P)^2
即：x^2+y^2-9/2Px=0