关于多元函数的极值问题.函数z=x+2y在附加条件x^2+y^2=5下的极大值为?极小值为什么?

Question

关于多元函数的极值问题.
函数z=x+2y在附加条件x^2+y^2=5下的极大值为?极小值为什么?

Answer 1

这是条件极值问题,得用Lagrange乘子法解决.
设F=x+2y+k(x^2+y^2--5),则aF/ax=1+2kx=0
aF/ay=2+2yk=0,aF/ak=x^2+y^2--5=0,
由第一和第二个方程解出x=--1/2k,y=--1/k,代入第三个方程得
4k^2=1,k=1/2或k=--1/2,对应的
x=--1,y=--2,或x=1,y=2.z(--1,--2)=--5,z(1,2)=5,
因此最大值是5,最小值是--5,分别在(1,2)和（--1,--2）达到.
当然,此题其实可以用初等数学知识解决,只需令x=根号(5)cosa,y=根号(5)sina,就可以了.