设向量组α1,α2,…αr线性无关,证明向量组β1=α1+αr,β2=α2+αr,…,βr=αr-1+αr,βr=αr线性设向量组α1，α2，…αr线性无关，证明向量组β1=α1+αr，β2=α2+αr，βr=αr-1+αr,βr=αr线性相关

Question

设向量组α1,α2,…αr线性无关,证明向量组β1=α1+αr,β2=α2+αr,…,βr=αr-1+αr,βr=αr线性
设向量组α1，α2，…αr线性无关，证明向量组β1=α1+αr，β2=α2+αr，βr=αr-1+αr,βr=αr线性相关

Answer 1

设有r个实数k1,k2...kr,使得
k1β1+k2β2+...+krβr=0;
即k1(α1+αr)+k2(α2+αr)+...+kr-1(αr-1+αr)+krαr=0;
k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+(k1+k2+...+kr)ar=0;
因为α1,α2,…αr线性无关
所以
k1=k2=...=kr-1=0;k1+k2+...+kr=0;
于是
k1=k2=...=kr-1=kr=0
所以,向量组β1=α1+αr,β2=α2+αr,…,βr-1=αr-1+αr,βr=αr线性无关
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上面的证法是没有错误的,你说最后证明向量组β1=α1+αr,β2=α2+αr,…,βr=αr-1+αr,βr=αr线性相关,βr=αr-1+αr,βr=αr不是同一个向量么.就是相关了