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一道高一数学练习题(属于 平面向量的数量积及运算律 范围内)设 a 是非零向量,且 b ≠ c ,求证:a • b = a • c ⇔ a ⊥ (b - c ).( 符号 ⇔ 是“等价于”的意思,再或者是“充要
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一道高一数学练习题(属于 平面向量的数量积及运算律 范围内)
设 a 是非零向量,且 b ≠ c ,求证:
a • b = a • c ⇔ a ⊥ (b - c ).( 符号 ⇔ 是“等价于”的意思,再或者是“充要条件”的意思.)
设 a 是非零向量,且 b ≠ c ,求证:
a • b = a • c ⇔ a ⊥ (b - c ).( 符号 ⇔ 是“等价于”的意思,再或者是“充要条件”的意思.)
▼优质解答
答案和解析
证法一:
a• b=a• ca• b-a• c=0
a• (b-c)=0
a⊥(b-c)
证法二:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3)
先证a• b=a• c=>a⊥(b-c)
a• b=x1x2+y1y2
a• c=x1x3+y1y3
由a• b=a• c得:
x1x2+y1y2=x1x3+y1y3
即:x1(x2-x3)+y1(y2-y3)=0
而b-c=(x2-x3,y2-y3)
∴a• (b-c)=0
再证a⊥(b-c)=>a• b=a• c
由a• (b-c)=0得:
x1(x2-x3)+y1(y2-y3)=0
即:x1x2+y1y2=x1x3+y1y3
∴a• b=a• c
a• b=a• ca• b-a• c=0
a• (b-c)=0
a⊥(b-c)
证法二:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3)
先证a• b=a• c=>a⊥(b-c)
a• b=x1x2+y1y2
a• c=x1x3+y1y3
由a• b=a• c得:
x1x2+y1y2=x1x3+y1y3
即:x1(x2-x3)+y1(y2-y3)=0
而b-c=(x2-x3,y2-y3)
∴a• (b-c)=0
再证a⊥(b-c)=>a• b=a• c
由a• (b-c)=0得:
x1(x2-x3)+y1(y2-y3)=0
即:x1x2+y1y2=x1x3+y1y3
∴a• b=a• c
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