空间几何向量已知三棱锥P-A B C的外接球O的半径为1,且满足向量OA+OB+OC=0则正三棱锥P-A B C的体积?

Question

空间几何向量
已知三棱锥P-A B C的外接球O的半径为1,且满足向量OA+OB+OC=0
则正三棱锥P-A B C的体积?

Answer 1

OA+OB+OC=0说明三角形ABC在经过球心O的大圆上,且是等边三角形；
(为什么?你可以去AB的中点D,那么2OD向量=-OC向量)说明OCD共线而C和D都在平面ABC上,那么O也会在ABC上,那么|OA|=|OB|=|OC|
接下来利用OA+OB+OC=0移项两边平方你就能得到两两夹角是120°
后面很easy了吧!
那么体积就好求了：V=1/3*[(√3/4)*(√3)^2]*1=√3/4