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已知函数f(x)=-|x-2|,g(x)=-|x-3|+m(1)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.(2)解关于x的不等式f(x)+a-1>0,a∈R.
题目详情
已知函数f(x)=-|x-2|,g(x)=-|x-3|+m
(1)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.
(2)解关于x的不等式f(x)+a-1>0,a∈R.
(1)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.
(2)解关于x的不等式f(x)+a-1>0,a∈R.
▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即-|x-2|>-|x-3|+m对任意实数x恒成立.
即|x-2|+|x+3|>m对任意实数x恒成立.
由于|x-2|+|x+3|≥(x-2)-(x+3)=5,故只要m<5.
所以m的取值范围是(-∞,5).
(2)不等式f(x)+a-1>0,即|x-2|+a-1>0.
当a=1时,不等式的解集是(-∞,2)∪(2,+∞);
当a>1时,不等式的解集为R;
当a<1时,即|x-2|>1-a,即x-2<a-1或者x-2>1-a,即x<a+1或者x>3-a,解集为(-∞,1+a)∪(3-a,+∞).
即|x-2|+|x+3|>m对任意实数x恒成立.
由于|x-2|+|x+3|≥(x-2)-(x+3)=5,故只要m<5.
所以m的取值范围是(-∞,5).
(2)不等式f(x)+a-1>0,即|x-2|+a-1>0.
当a=1时,不等式的解集是(-∞,2)∪(2,+∞);
当a>1时,不等式的解集为R;
当a<1时,即|x-2|>1-a,即x-2<a-1或者x-2>1-a,即x<a+1或者x>3-a,解集为(-∞,1+a)∪(3-a,+∞).
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