线性代数 李永乐复习全书 230页 例20为什么 A At=(a2+b2+c2+d2)4E At是A的置换

Question

线性代数 李永乐复习全书 230页 例20
为什么 A At=(a2+b2+c2+d2)4E At是A的置换

Answer 1

我没有李永乐复习全书,但我知道你问的这是一个非常特殊的经典题.
A =
a b c d
-b a -d c
-c d a -b
-d -c b a
求A的行列式对吧.
A^T =
a -b -c -d
b a d -c
c -d a b
d c -b a
用矩阵的乘法直接计算就有 AA^T = (a^2+b^2+c^2+d^2)E
两边取行列式得 |A|^2 = |AA^T| = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4.
考虑到 |A| 中a^4带正号,
所以有 |A| = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2.