求已知平面8x+y+2z+5=0平行且与三坐标轴构成的四面体体积为1的平面方程,

Question

求已知平面8x+y+2z+5=0平行且与三坐标轴构成的四面体体积为1的平面方程,

Answer 1

已知平面与三个坐标轴的交点为(0,0,-5/2)(0,-5,0)(-5/8,0,0)
三个交点到原点的距离之比为z:y:x=4：8：1,也是目标平面与三个坐标轴的交点的距离之比!
目标四面体的体积为1,三点到原点的距离的乘积为3,（因为三条轴互相垂直,三者的乘积为体积的3倍）
所以目标平面与三个坐标轴的交点距离为x:(3/32)^(1/3),y:8(3/32)^(1/3),z:4(3/32)^(1/3)
目标平面与已知平面平行 可以设为：8x+y+2z+d=0
过((3/32)^(1/3),0,0)或者(-(3/32)^(1/3),0,0)
代入得d=-8*(3/32)^(1/3)=-2*(6)^(1/3)或者d=2*(6)^(1/3)
所以目标平面为8x+y+2z+2*(6)^(1/3)=0 或者8x+y+2z-2*(6)^(1/3)=0