证明当x＞0时.1+xlin（x＋√（1+x²））＞√（1+x²）用求导的方法.设fx＝1+xlin（x＋√（1+x

Question

证明 当x＞0时.1+xlin（x＋√（1+x²））＞√（1+x²）
用求导的方法.
设fx＝1+xlin（x＋√（1+x

Answer 1

设f(x)=1+xln(x+√(1+x^2))-√(1+x^2)
f'(x)=ln(x+√(1+x^2))+(x+x^2/√(1+x^2))/(x+√(1+x^2))-x/√(1+x^2)
=ln(x+√(1+x^2))-(x^3+x)/√(1+x^2)+x√(1+x^2)
=ln(x+√(1+x^2))
>0
所以f(x)在x>0严格单调递增
f(0)=0
所以在x>0时f(x)>0
即1+xln(x+√(1+x^2))>√(1+x^2)