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定义在(-1,1)的奇函数f(x)=(x+m)/(x^2+nx+1),M=?n=?已知f(x)为奇函数在(0,正无穷)上为增函数,且f(x)
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答案和解析
∵奇函数f(0)=0
∴m/1=0
m=0
∴f(x)=x/(x^2+nx+1)
∵f(x)=-f(-x)
x/(x^2+nx+1)=-(-x)/((-x)^2-nx+1)
∴nx=-nx
∴n=0
∵奇函数在定义域上关于原点对称
∴f(x)在(负无穷,0)上是减函数
∴F(x)=1/f(x)在(负无穷,0)上是增函数
∵|x+1|在(负无穷,-1)上单减,在(-1,正无穷)上单增
∴f(x)=x/(|x+1|)在(负无穷,-1)上单增,在(-1,正无穷)上单减
∵1-x^2在(负无穷,0)上单增,在(0,正无穷)上单减
√(1-x^2)中,x∈(-1,1)
∴f(x)=√(1-x^2)在(-1,0)上单增,在(0,1)上单减
∵f(x)=|x+1|+|x-1|={2x x∈(1,正无穷)
0 x∈(-1,1)
-2x x∈(负无穷,-1)
∴f(x)=|x+1|+|x-1|在(1,正无穷)上单增,在(负无穷,-1)上单减
∴m/1=0
m=0
∴f(x)=x/(x^2+nx+1)
∵f(x)=-f(-x)
x/(x^2+nx+1)=-(-x)/((-x)^2-nx+1)
∴nx=-nx
∴n=0
∵奇函数在定义域上关于原点对称
∴f(x)在(负无穷,0)上是减函数
∴F(x)=1/f(x)在(负无穷,0)上是增函数
∵|x+1|在(负无穷,-1)上单减,在(-1,正无穷)上单增
∴f(x)=x/(|x+1|)在(负无穷,-1)上单增,在(-1,正无穷)上单减
∵1-x^2在(负无穷,0)上单增,在(0,正无穷)上单减
√(1-x^2)中,x∈(-1,1)
∴f(x)=√(1-x^2)在(-1,0)上单增,在(0,1)上单减
∵f(x)=|x+1|+|x-1|={2x x∈(1,正无穷)
0 x∈(-1,1)
-2x x∈(负无穷,-1)
∴f(x)=|x+1|+|x-1|在(1,正无穷)上单增,在(负无穷,-1)上单减
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