已知如图矩形ABCD的外角平分线分别交于点E、F、G、H.求证四边形EFGH是正方形

Question

已知如图矩形ABCD的外角平分线分别交于点E、F、G、H.求证四边形EFGH是正方形

Answer 1

1、这个题目看起来是一个很简单的题目,其实要严格证明,却不简单.这里面有一个不太容易引起人们注意的陷阱,即多边形EFGH是四边形,也就是说要证明E、A、H在同一条直线上,H、D、G在同一条直线上,G、C、F在同一条直线上,F、B、E在同一条直线上.显然楼上几位都没考虑这点. 

2、证明： 

□ABCD是矩形,AH、AE、DH是外角平分线, 

∴∠1=45°,∠2=45°,∠3=45°,∠BAD=90° 

∴∠1+∠2+∠BAD=180,∠2=∠3=45° 

∴E、A、H在同一条直线上,△HAD为等腰直角三角形, 

∴∠H=90°,HA=HD=√2/2AD, 

同理,H、D、G在同一条直线上,G、C、F在同一条直线上,F、B、E在同一条直线上, 

∠E=90°,EA=EB=√2/2AB, 

∠F=90°,FB=FC=√2/2BC, 

∠G=90°,GC=GD=√2/2CD, 

□EFGH是矩形, 

又∵EF=EB+FB, 

FG=FC+GC, 

GH=GD+HD, 

HE=HA+EA, 

由□ABCD是矩形,得AB=CD,AB=BC, 

故EF=FG=GH=HE, 

□EFGH是正方形. 

3、以前做过的有陷阱的题目,提供给你参考,希望对你有帮助. 

这种题目都是看似简单,实际不简单的题目.经常在竞赛活动中出,不注意很容易丢分.