高数二重积分中有绝对值应该怎么处理啊?积分区域的奇偶性和被积函数的奇偶性有什么关系?

Question

高数二重积分中有绝对值应该怎么处理啊?积分区域的奇偶性和被积函数的奇偶性有什么关系?

Answer 1

当题目中同时具备积分区域的对称性和被积函数的奇偶性时,往往可以化简积分过程.
本题中,被积分区域分别关于x轴和y轴对称；被积分函数函数关于x和y都是偶函数.
设D1：0≤x≤1,0≤y≤1
∫∫(D)︱︱x︱+︱y︱-1︱dσ=4∫∫(D1)︱x+y-1︱dσ=4{∫(0,1)∫(0,1-x)[-x-y+1]dxdy+∫(0,1)∫(1-x,1)[x+y-1]dxdy}=4{(1/2)∫(0,1)(1-x)^2+dx+(1/2)∫(0,1)x^2dx}=4[(1/6)+(1/6)]=4/3