已知sinβ+2sin（2α+β）=0，且α≠kπ2，α+β≠π2+kπ((k∈Z)），则3tan（α+β）+tanα=______．

Question

已知sinβ+2sin（2α+β）=0，且α≠(kπ)/(2)，α+β≠(π)/(2)+kπ((k∈Z)

Answer 1

∵sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
∴代入已知的等式sinβ+2sin（2α+β）=0得：
sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα+2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα=0，
即3sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=0，
又且α≠(kπ)/(2)，α+β≠(π)/(2)+kπ((k∈Z)