下面如图,已知p是正方形abcd边bc上一点,pe垂直ap,且pe=ap,连接ae,ce,ae交cd于点f 连接AC,求证AC=CE+根号2PC

Question

下面如图,已知p是正方形abcd边bc上一点,pe垂直ap,且pe=ap,连接ae,ce,ae交cd于点f 连接AC,求证AC=CE+根号2PC

Answer 1

证明：
作PG⊥BC,交AC于点G
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB=45°,PG=PC
∴CG=√2PC
在AB上截取AM=CP,连接PM
∵∠APE=90°
∴∠CPE+∠BOA=∠ABP+∠BPA=90°
∴∠PAM=∠CPE
∵PA=PE
∴△AMP≌△PCE
∴∠PCE=∠AMP=135°
∵∠AGP=135°
∴∠AGP=∠PCE
∵∠APG=∠CPE（都与∠EPG互余）,PC=PG
∴△APG≌△EPC
∴AG=CE
∴AC=AG+CG=CE+CG=CE+√2PC